Ответ

static-члены класса существуют в единственном экземпляре для всего класса, общее для всех объектов значение.

static-переменные инициализируются вне класса, обычно в cpp-файле, за пределами класса (int Foo::count = 0;). Внутри класса мы объявляем, а определяем вне.
static-функции могут вызываться как через класс, так и через объект. Не имеют доступа к членам конкретного экземпляра (this), могут обращаться только к другим static-членам.

Пример кода

class Counter {
public:
    static int count;
    static void increment() { ++count; }
};

int Counter::count = 0;

int main() {
    Counter::increment();
    Counter c1, c2;
    c1.increment();
    // count == 2
}

Вопрос с подвохом

«Может ли определение static-члена быть внутри заголовочного файла? Какие риски возникают?»

Ответ: Да, определение (int Foo::value = 0;) внутри заголовка технически возможно, но если этот заголовок будет включён в несколько translation units, приведёт к дублированию (multiple definition), что вызовет ошибки линковки. Поэтому определять static-члены следует только в одном cpp-файле.

Примеры реальных ошибок из-за незнания тонкостей темы.

История

В библиотечном коде static-член был определён прямо в заголовочном файле. Множественное включение привело к ошибкам линковки: "multiple definition of ...". После переноса определения в отдельный cpp-файл проблема исчезла.

История

В образовательном проекте static-член был объявлен, но забыли его определить во внешнем cpp-файле. Несмотря на отсутствие ошибок при компиляции заголовков, при линковке возникала ошибка unresolved external symbol. Понадобилось искать и добавлять недостающее определение.

История

В крупной embedded-системе неправильно реализовали инициализацию static-члена с вычисляемым значением (попытались проинициализировать через выражение, требующее выполнение кода). Выделили логику в отдельную инициализирующую функцию, но по невнимательности забыли вызвать эту функцию до первого доступа — результатом стали неинициализированные переменные и erratic behavior.